מתמטריק
תרגול זהויות מבגרות 571: חורף 2022 נבצרים, סעיף בטריגונומטריה 571 · שיעור 45
חורף 2022 נבצרים, שאלה 5 · סעיף ב

שיעור 44 – תרגול זהויות מבגרות 571: חורף 2022 נבצרים, סעיף ב

פרק 6 – זהויות טריגונומטריות
1נוסח השאלה
2סעיף ב – שטח המשולש ACD
📄 נוסח השאלה
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה־שוקיים ABC, ‏AB = AC, שחסום במעגל שרדיוסו R. האריכו את הבסיס BC עד לנקודה D והעבירו ישר מהנקודה D לנקודה A.
נתון: ∢BAC = 2x , ∢CAD = x. (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן סימנו אותה ב־x.)
סרטוט שאלה 5: המשולש ABC במעגל והנקודה D
א. הוכיחו כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABD שווה לרדיוס המעגל החוסם את המשולש ACD. (פתרנו בשיעור 32)
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. הביעו את שטח המשולש ACD באמצעות R ו־x.
סעיף ב – שטח המשולש ACD
📌 תזכורת מהסעיפים הקודמים (שיעור 32):
סעיף א – רדיוסים שווים: הוכחה – R1 = R2
∢ABC = ∢ACB = 180 − ∢BAC2
📐 משפט: סכום זוויות במשולש
נציב ∢BAC = 2x (נתון):
∢ABC = ∢ACB = 180 − 2x2 = 90 − x
במשולש ABC (חסום במעגל שרדיוסו R):
ACsin∢ABC = 2R
📐 משפט: משפט הסינוסים
📐 משפט: סכום זוויות במשולש
180 מעלות
📐 משפט: משפט הסינוסים
asin A = bsin B = csin C = 2R
סעיף ב – שטח המשולש ACD · המשך
ACsin∢ABC = 2R
📐 משפט: משפט הסינוסים
נציב ∢ABC = 90 − x:
ACsin(90 − x) = 2R
AC = 2R · sin(90 − x) = 2R cos x
📐 נוסחה: זהות
במשולש ACD:
∢ACD = 180 − ∢ACB
📐 משפט: משפט הסינוסים
asin A = bsin B = csin C = 2R
📐 נוסחה: זהות
sin(90 − a) = cos a
סעיף ב – שטח המשולש ACD · המשך
∢ACD = 180 − ∢ACB
נציב ∢ACB = 90 − x:
∢ACD = 180 − (90 − x) = 90 + x
∢ADC = 180 − ∢CAD − ∢ACD
📐 משפט: סכום זוויות במשולש
נציב ∢CAD = x ו־∢ACD = 90 + x:
∢ADC = 180 − x − (90 + x) = 90 − 2x
📐 משפט: סכום זוויות במשולש
180 מעלות
סעיף ב – שטח המשולש ACD · המשך
∢ADC = 180 − x − (90 + x) = 90 − 2x
ADsin∢ACD = ACsin∢ADC
📐 משפט: משפט הסינוסים
נציב ∢ACD = 90 + x ו־∢ADC = 90 − 2x:
ADsin(90 + x) = ACsin(90 − 2x)
AD = AC · sin(90 + x)sin(90 − 2x)
נציב AC = 2R cos x, ולפי הזהויות sin(90 + x) = cos x ו־sin(90 − 2x) = cos 2x:
📐 משפט: משפט הסינוסים
asin A = bsin B = csin C = 2R
סעיף ב – שטח המשולש ACD · המשך
נציב AC = 2R cos x, ולפי הזהויות sin(90 + x) = cos x ו־sin(90 − 2x) = cos 2x:
AD = 2R cos x · cos xcos 2x = 2R cos2xcos 2x
📐 נוסחה: זהויות
SACD = 12 · AC · AD · sin x
📐 נוסחה: שטח משולש
נציב AC = 2R cos x ו־AD = 2R cos2xcos 2x:
SACD = 12 · 2R cos x · 2R cos2xcos 2x · sin x
נסדר את הגורמים כך שיופיע 2sin x cos x, כדי שנוכל להשתמש בזווית כפולה:
📐 נוסחה: זהויות
sin(90 + a) = cos a , sin(90 − a) = cos a
📐 נוסחה: שטח משולש
S = 12 · a · b · sin C
סעיף ב – שטח המשולש ACD · המשך
נסדר את הגורמים כך שיופיע 2sin x cos x, כדי שנוכל להשתמש בזווית כפולה:
SACD = R2cos2x · 2sin x cos xcos 2x
SACD = R2cos2x · sin 2xcos 2x
📐 נוסחה: זווית כפולה
SACD = R2cos2x · tan 2x
✅ פתרון סופי: SACD = R2cos2x · tan 2x
📐 נוסחה: זווית כפולה
sin 2a = 2sin a cos a

📌 סיכום התשובות

סעיף ב
R2cos2x · tan 2x
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא